/**
 * 
 */
package tree.passed;

/**
 * @author xyyi
 *
 */
public class UniqueBinarySearchTrees {

	/**
	Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

	For example,
	Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

	1         3     3      2      1
	\       /     /      / \      \
	 3     2     1      1   3      2
	/     /       \                 \
	2     1         2                 3

	[Thoughts]
	这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
	1                1                      2                       3             3
	\                 \                 /      \                  /              /
	  3               2              1       3               2             1
	/                   \                                       /                  \
	2                       3                                   1                    2

	比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

	定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

	如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
	Count[0] =1

	如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
	Count[1] = 1

	如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
	1                       2
	\                    /
	2                1
	Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)
	              + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

	再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
	Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)
	           + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)
	           + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

	所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
	Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1
	问题至此划归为一维动态规划。
	 */

	// http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
	// DP	
	public int numTrees(int n) {
		int[] counter = new int[n + 1];
		counter[0] = 1;
		counter[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				counter[i] = counter[i] + counter[j] * counter[i - j - 1];
			}
		}

		return counter[n];
	}

	/**
	 * 
	 */
	public UniqueBinarySearchTrees() {
		// TODO Auto-generated constructor stub
	}

	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

	}

}
